概括
反射率法论文解读
传播矩阵概念
参考链接: https://www.youtube.com/watch?v=BX_-1ei12sU&list=LL&index=10&t=274s
![](https://s2.loli.net/2024/02/26/X7c6jaRt8NFJDCZ.png)
A点与B点的电场变化: E_A \to E_B 的过程用 \left[\begin{matrix}
E_A^r\\
E_A^l
\end{matrix}\right] = P \left[\begin{matrix}
E_B^r\\
E_B^l
\end{matrix}\right] 表示, 其中上标表示向右传播与向左传播
根据公式E_B(x) = E_A(x+L_{AB})
且E_A(x) = E_0e^{j(\omega t-kx)} k为波传播方向, 所以E_A(x+L)=E_0e^{j(\omega t-kx)}e^{-jkL}
结合方向得到
\left[\begin{matrix}
E_A^r\\
E_A^l
\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}{}
e^{+jkl}&0\\
0&e^{-jkl}
\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}
E_B^r\\
E_B^l
\end{matrix}\right]
反射率法同理
定义初始六元速度
\vec v = \begin{bmatrix}
1&0&0&0&0&0
\end{bmatrix}^T
通过传播矩阵乘法向上延拓至第0层得到
\vec v = Q_0Q_1\dotsb Q_{N-1}\vec v_N
v_0定义
v_{0}=[\Delta,-R_{PS}\Delta,-R_{SS}\Delta,R_{PP}\Delta,R_{SP}\Delta, \text{det}R\Delta]
每个波传播矩阵Q,是一个界面矩阵F和一个层穿越矩阵E的乘积
其中
E_n = \text{diag}\begin{bmatrix}
e^{-i\omega h_n(q_n^P+q_n^S)}&1&e^{-i\omega h_n(q_n^P-q_n^S)}&e^{i\omega h_n(q_n^P-q_n^S)}&1&e^{-i\omega h_n(q_n^P+q_n^S)}
\end{bmatrix}
F_n = T_n^{-1}T_{n+1}(穿越指T_n \to T_{n+1}的过程,即T_nF_n = T_{n+1})
P, SV, SH波
![](https://picx.zhimg.com/80/v2-5caa021db1b4aa11c7c6983b30af1846_720w.webp?source=1def8aca)
字母含义
p : 水平慢度 q: 垂直慢度 P31 W 位移矩阵 T 牵引力矩阵 m 位移 n 牵引力
P 应力位移矢量的传播矩阵, Q 波的传播矩阵(界面系数矩阵)
Chapter 2
传播不变量
对基本B矩阵进行划分,以显示位移和应力元素,这样我们就写了
\mathbf{B}=\begin{bmatrix}\mathbf{W}_1&\mathbf{W}_2\\\mathbf{T}_1&\mathbf{T}_2\end{bmatrix}\tag{2.67}
用位移矩阵W和与之相关的牵引矩阵T表示。对于P-SV系统W将是一个2 × 2矩阵,其列可以被认为是二阶系统(2.31)的独立解,并且牵引矩阵如(2.33)中所示,\omega T = A \partial_z W + \omega p B W。在SH的情况下,W和T只是位移和牵引元素W, T。任何特定的应力-位移向量都可以通过取B列的线性组合来创建,有常数c: b = Bc
通过扩展我们对传播不变量的处理,我们可以建立一个基本矩阵逆的一般形式。对于位移矩阵W1和W2,我们引入该矩阵
<W_1,W_2>=W_1^\mathrm{T}T_2-T_1^\mathrm{T}W_2\tag{2.68}
中的第i项是由W1的第i列和W2的第j列构造的表达式(2.36)。对于SH波(2.68)与(2.36)没有区别,但对于P-SV波是一个2 × 2矩阵。由于(2.68)中的每个条目都与深度无关,所以也是如此,并且我们有一个矩阵传播不变量。从定义(2.68)
<W_1,W_2>^{\mathsf{T}}=-<W_2,W_1>\tag{2.69}
Chapter3 P37
3.1 均匀介质
对于频率为ω,慢度为p,角阶为m的圆柱形波,我们引入了将应力-位移矢量b与新矢量v连接起来的变换
选择矩阵D来给出v随z的演化的简单形式
v(z)=\exp[i\omega(z-z_0)\Lambda]v(z_0)=Q(z,z_0)v(z_0)\tag{3.10}
Q为传播矩阵,取决于当前深度z和参考深度z_0, 对于P-SV波
Q_P(h,0)=\operatorname{diag}[\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\omega}{q}_{\alpha}{h}},\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\omega}{q}_{\beta}{h}},\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\omega}{q}_{\alpha}{h}},\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\omega}{q}_{\beta}{h}}]\tag{3.11}
对于SV波
Q_H(h,0)=\operatorname{diag}[\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\omega}{q}_{\beta}{h}},\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\omega}{q}_{\beta}{h}}]\tag{3.12}
对于P - SV波,我们设定
\mathbf{v_P}=[{P_U},{S_U},{P_D},{S_D}]^{T}\tag{3.15}
对于SH波
\mathbf{v_H}=[{H_U},{H_D}]^{T}\tag{3.16}
通过引入对应于上行波和下行波的分划来总结波矢v
\mathbf{v}=[{v_U},{v_D}]^{T}\tag{3.17}
在均匀介质中,系数矩阵A是常数,因此特征向量矩阵D与z无关, 将b公式代入可得
b(z) = D \exp[i\omega(z-z_0)\Lambda]D^{-1}b(z_0)\tag{3.19}
故b的传播矩阵为
\mathbf{P}(z,z_0)=\exp[\omega(z-z_0)\mathbf{A}]=\mathbf{D}\exp[\mathrm{i}\omega(z-z_0)\boldsymbol{\Lambda}]\mathbf{D}^{-1}\tag{3.20}
特征向量矩阵D在可以看成是在参考水平z_{ref}下评估的基本矩阵,因此其列可以被识别为对应于不同波型的"基本"应力-位移向量。
对于P-SV波
\mathbf{D}_{\mathrm{P}}=[\epsilon_{\alpha}\mathbf{b}_{\mathrm{U}}^{\mathrm{P}},\epsilon_{\beta}\mathbf{b}_{\mathrm{U}}^{\mathrm{S}};\epsilon_{\alpha}\mathbf{b}_{\mathrm{D}}^{\mathrm{P}},\epsilon_{\beta}\mathbf{b}_{\mathrm{D}}^{\mathrm{S}}]\tag{3.22}
对于SH波
\mathbf{D}_{\mathsf{H}}=[\epsilon_{\mathsf{H}}\mathbf{b}_{\mathsf{U}}^{\mathsf{H}};\epsilon_{\mathsf{H}}\mathbf{b}_{\mathsf{D}}^{\mathsf{H}}]\tag{3.24}
\epsilon为尺度参数,可以调整使这些参数在一个量纲上。对这些b矢量进行归一化处理很方便,使得在完全弹性介质中,传播波在z方向上的每个b矢量携带相同的能量通量。
p41 特征向量矩阵D是基本矩阵的一种特殊情况,我们可以通过将D写成分块形式来显示它作为变换的作用
\mathbf{D}=\begin{bmatrix}m_\mathrm{U}&m_\mathrm{D}\\n_\mathrm{U}&n_\mathrm{D}\end{bmatrix}\tag{3.36}
m_U表示上行波矢量v_U转为位移的变换算子, m_D表示下行波矢量v_D转为位移的变换算子,同理n_U和n_D表示波矢量转化为上行下行应力的算子
对于P-SV波
\begin{aligned}
&m_{\mathrm{U,D}} =\begin{bmatrix}\mp\mathrm{i}{q}_\alpha\epsilon_\alpha&{p}\epsilon_\beta\\{p}\epsilon_\alpha&\mp\mathrm{i}\mathfrak{q}_\beta\epsilon_\beta\end{bmatrix} \\
&n_{\mathrm{U,D}} =\begin{bmatrix}\rho(2\beta^2p^2-1)\epsilon_\alpha&\mp2\mathrm{i\rho\beta}^2\text{рq}_\beta\epsilon_\beta\\\mp2\mathrm{i\rho\beta}^2\text{рq}_\alpha\epsilon_\alpha&\rho(2\beta^2\text{p}^2-1)\epsilon_\beta\end{bmatrix}
\end{aligned}\tag{3.37}
对于SH波
m_{\mathrm{U,D}}=\beta^{-1}\epsilon_\beta,\quad n_{\mathrm{U,D}}=\mp\mathrm{i\rho\beta}q_\beta\epsilon_\beta\tag{3.38}
通过构造传播不变量可以得到方便的得到D^{-1} P42
\mathbf{D}^{-1}=\mathrm{i}\begin{bmatrix}-\mathbf{n}_\mathrm{D}^\mathrm{T}&\mathbf{m}_\mathrm{D}^\mathrm{T}\\\mathbf{n}_\mathrm{U}^\mathrm{T}&-\mathbf{m}_\mathrm{U}^\mathrm{T}\end{bmatrix}\tag{3.40}
在得到D和D^{-1}后, 根据(3.20)来构造均匀介质中应力-位移传播子的表达式。对于P - SV波
\mathbf{P}_{{P}}({h},0)=\mathbf{D}_{{P}}\operatorname{diag}[\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\omega}{q}_{\alpha}{h}},\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\omega}{q}_{\beta}{h}},\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\omega}{q}_{\alpha}{h}},\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\omega}{q}_{\beta}{h}}]\mathbf{D}_{{P}}^{-1}\tag{3.41}
传播子的划分PWW,PWT,PTW,PTT在P42式(3.42)
对于SH波
\mathbf{P}_H(h,0)=\begin{bmatrix}\mathcal{C}_\beta&(\rho\beta^2)^{-1}\mathcal{S}_\beta\\-\rho\beta^2\mathcal{q}_\beta^2\mathcal{S}_\beta&\mathcal{C}_\beta\end{bmatrix}\tag{3.44}
借助D及其逆的表达式( 3.36 )和( 3.40 ),我们可以将均匀层传播子表示为上行和下行贡献之和
\mathbf{P(h,0)=i}\begin{bmatrix}-\mathbf{m_uE_un_D^T}&\mathbf{m_uE_um_D^T}\\-\mathbf{n_uE_un_D^T}&\mathbf{n_uE_um_D^T}\end{bmatrix}+\mathrm{i}\begin{bmatrix}\mathbf{m_DE_Dn_U^T}&-\mathbf{m_DE_Dm_U^T}\\\mathbf{n_DE_Dn_U^T}&-\mathbf{n_DE_Dm_U^T}\end{bmatrix}\tag{3.45}
其中对角矩阵E_D是下行波的相位收入,对于P-SV波
E_D=\text{diag}[e^{i\omega q_\alpha h},e^{i\omega q_\beta h}] \quad and \quad E_U=E_D^{-1}
3.2 平滑变化的介质
3.3 一致近似